Les nombres existent-ils réellement ? Philosophie, histoire et construction formelle

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Lorsque nous utilisons les chiffres pour lire l'heure, payer au supermarché ou consulter notre solde bancaire, nous les utilisons machinalement, comme s'ils étaient aussi réels que nos clés de maison. Mais à y regarder de plus près, la situation se complique : En quel sens les nombres « existent-ils » réellement ?Sont-ce quelque chose que nous découvrons, comme les planètes, ou quelque chose que nous inventons, comme les personnages d'un roman ?

Ce débat mêle philosophie, histoire et mathématiques d'une manière fascinante. Au fil des siècles, diverses réponses ont été proposées : de ceux qui pensent que les nombres font partie d'une sorte de « monde abstrait » indépendant de nous, à ceux qui soutiennent qu'ils ne sont rien de plus que des nombres. des outils symboliques que nous avons créés pour compter, mesurer et raisonner. Au fil du temps, apparaissent des idées telles que les axiomes de Peano, la théorie des ensembles, la construction formelle des nombres naturels, entiers, rationnels, irrationnels et réels, et même les célèbres limitations découvertes par Gödel.

Que signifie l'«existence» d'un nombre?

Avant de nous pencher sur les formules et les axiomes, il convient de clarifier ce que l'on entend par « existence ». L'existence d'une table n'est pas comparable à l'existence de Sherlock Holmes ni à l'existence de… un nombre comme 24La table est un objet physique ; Holmes est un personnage fictif mais bien défini ; le 24, en revanche, ne prend pas de place, ne pèse rien et ne peut pas être rangé dans un tiroir.

Une façon d'aborder la question, qui vient de Platon, soutient que les nombres sont entités abstraites qui vivent dans un domaine non physiqueIls ne sont pas faits de matière, mais ils sont aussi « réels » que la justice ou la beauté dans la philosophie platonicienne. De ce point de vue, les mathématiciens n'inventent pas les nombres, ils les découvrent : le nombre 24 était « là » même si personne n'y avait pensé.

D'autres philosophes et mathématiciens soutiennent une autre thèse : les nombres préféreraient symboles et constructions conceptuelles que nous développons Pour modéliser le monde, ces nombres n'existeraient pas en dehors de nos théories et conventions, même si, une fois ces règles établies, les résultats mathématiques seraient aussi rigides que nous le souhaiterions. Dans cette approche, 24 résulte d'un système de symboles et d'opérations convenus, et non d'un élément d'un univers mathématique indépendant.

Il existe également des propositions intermédiaires intéressantes : certains auteurs soutiennent qu’un nombre est une sorte de objet abstrait doté de la propriété particulière que « s'il pouvait exister, il existerait ».Autrement dit, un concept doit seulement être possible et bien défini pour avoir une certaine existence logique ou mathématique. Cette formulation nous permet d'inclure non seulement les nombres, mais aussi les ensembles, les aires, les fonctions, les figures géométriques et bien d'autres entités que nous utilisons quotidiennement en mathématiques.

De chacun de ces points de vue, le problème sous-jacent est similaire : En quoi l'existence d'un nombre diffère-t-elle de l'existence d'un personnage de fiction ?Tout le monde connaît le chiffre 5 et Sherlock Holmes, mais on ne leur attribue pas la même dimension de réalité. Loin d'être clos, le débat soulève généralement plus de questions qu'il n'apporte de réponses.

Chiffres, symboles et signification : que représente réellement un « 2 » ?

Si l'on fait abstraction de ce que l'on tient pour acquis et que l'on examine les chiffres objectivement, la première chose que l'on constate est symboles écrits ou sons lorsqu'ils sont prononcésLe « 2 » que nous écrivons sur le papier, le « deux » que nous disons à voix haute, ou le « II » romain ne sont pas le nombre lui-même, mais des représentations.

Un symbole, en soi, est un simple trait ou un son sans contenu. Ce qui lui donne sens, c'est l'accord collectif. Nous avons décidé que ce trait représente une quantité, un ordre, une mesureTout comme les lettres de l'alphabet, qui ne signifient rien individuellement, mais qui, combinées, forment des mots que nous associons à des idées, des choses ou des actions.

Cette perspective symbolique révèle quelque chose d'important : Il n'y a rien de « magique » dans la forme concrète des nombresNous pourrions utiliser des symboles totalement différents, et tant que nous nous accordons sur les mêmes règles et significations, les mathématiques fonctionneraient quand même. De fait, tout au long de l'histoire, il y a eu de nombreux systèmes numériques, avec des symboles et des règles complètement différents, et pourtant, ils ont tous servi à compter, mesurer et calculer.

Cependant, l'utilisation quotidienne des chiffres va bien au-delà du simple fait de les écrire : La puissance des nombres devient évidente lorsqu'on travaille avec eux.Additionner, soustraire, multiplier, diviser, élever à des puissances… Toutes ces opérations nous permettent de modéliser des phénomènes réels : de la division d’un gâteau à la conception d’un système de navigation GPS ou au calcul de la dose d’un vaccin.

Précisément parce que les mathématiques sous-tendent presque toute la technologie moderne, les mathématiciens ont été contraints, surtout à partir du XIXe siècle, de définir avec la plus grande précision ce qu'ils entendaient par « nombre »Il ne suffisait pas de dire simplement « c'est ce que nous utilisons pour compter » ; une définition formelle était nécessaire pour éviter les contradictions et permettre de construire l'ensemble de la théorie avec certitude.

Existe-t-il une infinité de nombres, ou cela n'est-il pas si clair non plus ?

L'une des questions les plus déroutantes lorsqu'on aborde l'existence des nombres est celle-ci : thème de l'infiniOn a l'habitude de dire qu'il existe une infinité de nombres naturels : 0, 1, 2, 3… et ainsi de suite. Mais si l'on accepte cela, des questions curieuses se posent.

Par exemple : si l’on considère l’ensemble de tous les nombres et que l’on souhaite en choisir un au hasard, quelle est la probabilité d’obtenir un 5 ? Intuitivement, on pourrait dire quelque chose comme : 1 divisé par l'infini, ce qui semblerait égal à zéroEt si la probabilité est nulle, on pourrait être tenté de dire que 5 « n'apparaît pas » dans cet ensemble, ce qui paraît absurde puisque 5 y est clairement présent.

Ce type de raisonnement illustre le conflit entre les intuitions quotidiennes concernant l'infini et manière rigoureuse dont les probabilités et les ensembles infinis sont traités en mathématiquesEn théorie de la mesure et en probabilité, une probabilité nulle ne signifie pas qu'un événement est impossible ; cela indique simplement que, dans un continuum infini, son « poids » est négligeable. Autrement dit, l'idée que « probabilité nulle = inexistence » est mathématiquement incorrecte.

De là découle une autre proposition, plus philosophique : peut-être les nombres ne sont-ils pas « donnés » comme une infinité complète, mais plutôt Nous les générons étape par étape, progressant sans limite mais sans atteindre une infinité achevée.Autrement dit, les nombres seraient potentiellement infinis (on peut toujours ajouter 1), mais il n'y aurait pas de « total » de tous ces nombres considéré comme un ensemble clos.

Cette position se rattache à la notion de nombres naturels comme objets construits par succession (0, puis son successeur, puis le successeur du successeur, et ainsi de suite), ce qui nous amène au célèbre Axiomes de Peano La théorie des ensembles comme base formelle des mathématiques modernes.

De rien à zéro : ensembles, espace vide et nombres naturels

Pour construire rigoureusement les nombres naturels, de nombreux mathématiciens du XIXe siècle se sont appuyés sur un langage commun : Théorie des ensemblesL'idée est simple en apparence : nous travaillons avec des « ensembles » (collections) et des « éléments » (ce qui appartient à ces collections) et nous donnons quelques axiomes de base sur leur comportement.

L'un des axiomes fondamentaux est celui de l'extension : Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments.Une autre, la spécification, nous permet de former des sous-ensembles à partir d'une condition : étant donné un ensemble A et une propriété T, il existe l'ensemble de tous les éléments de A qui satisfont T.

Grâce à ces outils, nous pouvons définir un élément clé : le ensemble videL'ensemble vide, appelé 0, peut être représenté comme l'ensemble de tous les x ∈ A tels que x ≠ x (une condition impossible). Cet ensemble est généralement appelé 0 et constitue la pierre angulaire de la construction formelle des nombres naturels.

À partir de là, nous pouvons « nommer » les premiers nombres comme certains ensembles : nous appelons l’ensemble vide 0, l’ensemble contenant uniquement 0 nous appelons 1, l’ensemble contenant à la fois 0 et 1 nous appelons 2, et ainsi de suite. Chaque nombre est construit comme un ensemble qui rassemble à tous les nombres ci-dessusCette manière d'encoder les nombres naturels (semblable à la proposition de Frege et plus tard à celle de von Neumann) permet de relier l'ordre « inférieur à » à l'inclusion des ensembles.

Pour aller de l'avant, nous avons besoin de l'axiome d'union : étant donné une collection d'ensembles, il existe un ensemble contenant tous les éléments qui appartiennent à au moins un d'entre eux. Et nous définissons également… successeur d'un ensemble A car A+ = A ∪ {A}. C'est-à-dire que nous ajoutons l'ensemble lui-même comme un nouvel élément, ce qui nous permet de monter « numéro par numéro ».

Ceci introduit le concept de ensemble successeurUn ensemble S est un ensemble successeur s'il contient 0 et si, pour tout élément A qu'il contient, il contient également son successeur A+. Un axiome fondamental stipule qu'il existe au moins un ensemble successeur. L'intersection de tous les ensembles successeurs possibles donne le plus petit ensemble les contenant tous : c'est précisément là que l'ensemble des successeurs est « emboîté ». nombres naturels, ℕ.

Les axiomes de Peano : s'assurer que 1 + 1 = 2 n'est pas si trivial

Une fois que nous avons identifié ℕ comme l'ensemble minimal contenant 0 et stable par succession, nous pouvons étudier ses propriétés. Giuseppe Peano a formulé une liste très concise d'axiomes à la fin du XIXe siècle qui en donne un aperçu. l'essence du comportement des nombres naturels.

Dans une version typique, en commençant par 1 au lieu de 0, les axiomes de Peano énoncent, en termes généraux, ce qui suit : premièrement, 1 est un nombre naturelDeuxièmement, tout nombre naturel a un successeur, qui est également un nombre naturel. Troisièmement, aucun nombre naturel n'a 1 comme successeur (ou, autrement dit, 0 n'est le successeur d'aucun nombre naturel). Quatrièmement, si un ensemble de nombres naturels contient 1 et est clos par suite, alors il contient tous les nombres naturels : c'est le cas. principe d'inductionCinquièmement, si deux nombres ont le même successeur, alors ces deux nombres sont égaux.

Ces axiomes, bien qu'ils paraissent formels et quelque peu arides, englobent des idées que nous utilisons inconsciemment depuis l'enfance. Par exemple, l'induction nous permet de démontrer des propriétés du type « tous les nombres naturels satisfont X » en démontrant que X est valable pour le premier Et si cela est vrai pour un nombre, alors cela l'est aussi pour le suivant. C'est une sorte d'effet domino logique.

De ces axiomes, on déduit des propriétés fondamentales des nombres naturels, telles que : Il n'existe aucun nombre dont le successeur soit 0.ou que l'opération de « successeur » est injective (si deux nombres ont le même successeur, alors ce sont les mêmes nombres). Elles nous permettent également de caractériser ℕ comme le seul ensemble qui satisfait certaines conditions combinées de succession et d'induction.

Le plus intéressant est que, à partir de ce cadre logique et de la notion de successeur, on peut construire rigoureusement les opérations arithmétiques habituelles: addition, multiplication et puissances, et démontrer leurs propriétés classiques (commutativité, associativité, existence d'éléments neutres, etc.) sans faire appel à « intuitivement, c'est ainsi ».

Comment construire la somme, le produit et les puissances sur ℕ

Une fois les axiomes de Peano acceptés et l'ensemble ℕ bien défini, on peut se demander : comment définir précisément des opérations comme l'addition, sans les tenir pour acquises ? Pour cela, on utilise un outil très puissant : le Théorème de récurrence, qui garantit l'existence et l'unicité de certaines fonctions définies étape par étape sur les nombres naturels.

L'idée est la suivante : si l'on a un ensemble X, un élément initial a dans X et une fonction f : X → X, le théorème garantit l'existence d'une unique fonction u : ℕ → X telle que u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) pour tout nombre naturel n. C'est-à-dire que nous pouvons construire u en appliquant f encore et encore en partant de a, et il n'y aura pas deux manières distinctes de le faire qui respectent cette définition.

En appliquant cette idée aux nombres naturels, on peut définir la somme d'un nombre m fixé avec n quelconque. On prend X = ℕ, a = m et une fonction s : ℕ → ℕ qui associe à chaque na son successeur n+. Alors, le théorème de récurrence nous donne une fonction S_m : ℕ → ℕ, avec S_m(0) = m et S_m(n+) = s(S_m(n)). On interprète cette fonction comme la somme m + nAutrement dit, nous définissons S_m(n) = m + n.

Avec cette définition formelle, une chose aussi banale que 1 + 1 devient une petite chaîne d'applications : 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Ce n'est pas que les mathématiciens ignorent que 1 + 1 est égal à 2, c'est qu'ils veulent justifier pourquoi, dans le cadre du système axiomatique, cette égalité est inévitable.

À partir de cette définition, on peut démontrer des propriétés telles que le fait que 0 est l'élément neutre de l'addition (m + 0 = my, 0 + m = m pour tout m), que l'addition est commutatif (a + b = b + a) et c'est aussi associatif ((a + b) + c = a + (b + c)). Toutes ces démonstrations reposent sur le principe de récurrence et le comportement du successeur.

Le produit est défini de manière similaire. On fixe un nombre m, on prend une fonction P_m : ℕ → ℕ telle que P_m(0) = 0 et P_m(n+) = S_m(P_m(n)). On interprète P_m(n) comme m × nAinsi, par exemple, 1 × 2 est développé comme P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Ensuite, en utilisant à nouveau l'induction, ses propriétés sont démontrées : commutativité, associativité et que 1 est l'élément neutre du produit.

Les puissances sont construites en procédant par une étape supplémentaire : on définit E_m : ℕ → ℕ avec E_m(0) = 1 et E_m(n+) = P_m(E_m(n)), et on écrit E_m(n) = m^n. À partir de cette définition, on obtient des identités telles que m^(n + k) = m^n × m^k, encore une fois à l'aide du principe d'induction et des propriétés déjà démontrées du produit.

L'ensemble de ce processus, bien que formel et quelque peu technique, illustre que l'édifice de l'arithmétique élémentaire n'est pas « dans le vide », mais soutenu par… quelques axiomes très clairs et une poignée d'arguments logiquesDe ce point de vue, « l’existence » des nombres naturels signifie qu’il existe un modèle (par exemple, des ensembles construits à partir de l’ensemble vide) qui satisfait ces axiomes.

Des nombres naturels aux entiers, nombres rationnels et irrationnels

Une fois les nombres naturels solidement établis, l'histoire ne s'arrête pas là. Les problèmes quotidiens et scientifiques nous obligent à étendre cet univers numériquePar exemple, avec les nombres naturels, nous savons seulement compter et additionner, mais pas soustraire en général ni diviser.

L'étape suivante consiste généralement à introduire le nombres entiers, qui comprennent les nombres naturels et leurs négatifs : …, -2, -1, 0, 1, 2, … Historiquement, les fractions sont apparues avant les nombres négatifs, mais d’un point de vue formel, il est plus pratique de commencer par les entiers. Un entier peut être défini comme une classe d’équivalence de paires de nombres naturels (a, b), où l’on considère deux paires (a, b) et (c, d) équivalentes si a + d = b + c. Intuitivement, cela correspond à penser… « soustraire » de − b, bien que formellement cette soustraction n'existe pas encore dans ℕ.

Ensuite, le nombres rationnelsCes unités correspondent aux fractions que nous connaissons bien. Elles servent à mesurer des quantités qui ne sont pas des nombres entiers, comme un demi-gâteau, un tiers de litre ou trois quarts d'heure. Un nombre rationnel est généralement représenté par a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0. Formellement, chaque nombre rationnel est défini comme une classe d'équivalence de paires (a, b), avec b ≠ 0, où deux paires (a, b) et (c, d) sont équivalentes si a·d = b·cC'est-à-dire, s'ils représentent la même proportion.

Les Pythagoriciens croyaient que « tout est nombre » au sens de « tout est rationnel », mais cette conception fut réfutée lorsqu'on découvrit que la diagonale d'un carré de côté 1 (la racine carrée de 2) ne peut s'écrire sous forme de fraction d'entiers. Il fut également démontré par la suite que π et e sont des nombres irrationnelsAutrement dit, elles ne peuvent pas être exprimées sous la forme a/b avec des entiers a et b.

Pour construire rigoureusement le nombres irrationnels C'est un peu plus délicat. Une façon élégante de le faire est par téléphone. Dedekind coupeL'idée est de considérer certains sous-ensembles de nombres rationnels possédant une borne supérieure spécifique. Par exemple, on peut prendre l'ensemble de tous les nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 ; sa « coupe » naturelle est √2, qui n'est pas rationnel. Ainsi, chaque coupe appropriée peut être vue comme un nombre réel, et certaines de ces coupes ne correspondent pas à des nombres rationnels.

En combinant tous les nombres rationnels et toutes les coupures qui donnent lieu aux nombres irrationnels, on construit l'ensemble des nombres réels, ℝDans ℝ se trouvent tous les nombres que nous utilisons pour mesurer des grandeurs continues : longueurs, aires, temps, vitesses, etc. À l'intérieur des nombres réels sont encore « inclus » les nombres naturels, entiers et rationnels, chacun avec son interprétation spécifique.

Un bref aperçu de l'histoire des systèmes numériques

La question de l'existence des nombres n'est pas seulement abstraite ; elle se reflète également dans l'histoire de la manière dont différentes cultures ont appris à compter et écrire des quantitésLes premières traces de numérotation remontent à environ 7000 avant J.-C., avec des marques et des os utilisés pour effectuer des comptages simples.

Dans l'Égypte antique, sous la Première dynastie, un système de numération décimale hiéroglyphique fut développé. Chaque puissance de dix avait son propre symbole. Ils ont regroupé les éléments par dizaines.Il servait à des tâches pratiques telles que le calcul des impôts, la mesure des champs agricoles ou la construction de temples.

En Mésopotamie, les Sumériens puis les Babyloniens utilisaient un système de numération sexagésimal, c'est-à-dire, base 60Sa complexité résidait dans le grand nombre de symboles et de combinaisons possibles, mais elle s'est avérée extrêmement efficace pour l'astronomie et la mesure du temps. De fait, nous utilisons encore aujourd'hui ce système pour les heures, les minutes et les secondes.

Les Grecs prirent le système décimal égyptien comme référence et développèrent un système dans lequel ils utilisaient lettres de leur alphabet pour représenter des nombresLe système attique, cependant, s'est avéré assez rigide et a quelque peu limité le développement de l'arithmétique avancée, bien que les Grecs aient brillé de façon spectaculaire en géométrie et en démonstrations logiques.

Le système romain, qui nous est plus familier, attribuait des valeurs numériques à certaines lettres (I, V, X, L, C, D, M). Bien que d'apparence plus simple que d'autres, Ce n'était pas positionnelCela rendait les calculs complexes très fastidieux. C'est acceptable pour quelques dates sur la façade d'un bâtiment ; beaucoup moins pour l'algèbre.

Parallèlement, un système décimal et positionnel a émergé en Inde vers le Ve siècle avant J.-C. Dans ce système, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position, et dix unités d'un ordre donné équivalent à une unité de l'ordre supérieur. Ce système, qui intégrait explicitement le zéro en tant que nombreIl s'est avéré incroyablement puissant et pratique.

Les Arabes, au contact de cultures telles que l'hindouisme, la Grèce et l'Égypte, ont adopté et diffusé ce système décimal positionnel. Bien que l'on parle de « chiffres arabes », en réalité Son origine est l'IndeCe sont les peuples islamiques qui l'ont transmis à l'Europe, notamment par l'intermédiaire d'Al-Andalus. Avec le temps, ce système a supplanté les chiffres romains et est devenu la norme mondiale.

En Amérique précolombienne, la civilisation maya a développé un système numérique extraordinairement avancé, basé sur 20 et positionnel. De plus, ils reconnaissaient explicitement le zéro. Ils représentaient les nombres en combinant points et barresDes points pour les unités et des barres pour les groupements par cinq. Sa maîtrise du calendrier et de l'astronomie était d'une précision étonnante.

Cet aperçu historique global renforce l'idée que, malgré l'évolution des formes et des règles, Le besoin de compter, de mesurer et d'ordonner le monde est universel.Les nombres, sous leurs diverses incarnations, semblent surgir sans cesse partout où une civilisation souhaite organiser son expérience de l'environnement.

Les limites du système : Gödel et la foi dans les mathématiques

À la fin du XIXe et au début du XXe siècle, de nombreux mathématiciens ont cherché à transformer les mathématiques en une un bâtiment parfaitement solide, exempt de contradictionsL'idée était de trouver un ensemble fini d'axiomes fondamentaux à partir desquels tous les autres résultats mathématiques pourraient être déduits par la logique pure.

Des personnalités comme Henri Poincaré étaient sceptiques et considéraient cette ambition comme irréalisable, tandis que d'autres, menés par David HilbertIls étaient convaincus qu'un système axiomatique parfait pouvait être réalisé pour l'arithmétique et, par extension, pour le reste des branches des mathématiques.

Puis Kurt Gödel apparut et démontra deux théorèmes qui bouleversèrent à jamais le domaine. Le premier énonce, en simplifiant grandement, que dans tout système suffisamment puissant pour inclure les opérations arithmétiques de base (par exemple, le système d'exploitation), on peut déterminer les fonctions arithmétiques de base. Axiomes de PeanoIl y aura toujours des propositions vraies qui ne pourront pas être démontrées au sein du système lui-même. Autrement dit : l’arithmétique ne peut être à la fois complète et cohérente.

Le deuxième théorème de Gödel est encore plus troublant : il montre que si un système axiomatique comme celui de l'arithmétique est cohérent (sans contradictions), alors Cette cohérence ne peut être démontrée de l'intérieur même du système.Si quelqu'un parvenait à prouver qu'il n'existe aucune contradiction en arithmétique en utilisant uniquement ses axiomes et ses règles, cela signifierait, paradoxalement, que le système n'est pas cohérent.

Ces conclusions ont parfois été interprétées comme une sorte de « plaisanterie cosmique » : si nous nous fions autant aux mathématiques comme outil ultime de la connaissance, nous devons accepter que, dans un certain sens, Nous devons aussi croire en quelque chose que nous ne pouvons pas prouver à partir du cadre mathématique lui-même.L’«existence» d’un système arithmétique raisonnable, sans contradictions, requiert un acte de foi minimal.

Lorsque nous reconstituons l'ensemble de ce parcours — des symboles et de l'os d'Ishango, en passant par l'Égypte, Babylone, l'Inde et les Mayas, jusqu'à la théorie des ensembles, les axiomes de Peano, les constructions formelles des différents types de nombres et les théorèmes de Gödel —, ce que nous constatons, c'est que les nombres sont, en même temps, outils humains et structures étonnamment robustesOn peut débattre de leur « existence » en tant qu’entités abstraites ou en tant que conventions sophistiquées, mais il est clair qu’elles façonnent notre compréhension de l’univers et, d’une certaine manière, nous transcendent : même si nous devions disparaître, il est difficile d’imaginer un cosmos dans lequel 1 + 1 ne serait plus égal à 2.